2014年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文科）

1．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合，则（   ）

1.         B.      C.           D.

（2）若，则

1.         B.         C.         D.

（3）设，则

A.         B.         C.         D. 2

（4）已知双曲线的离心率为2，则

A. 2        B.         C.         D. 1

（5）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是

1. 是偶函数        B. 是奇函数     

C.   是奇函数          D. 是奇函数

（6）设分别为的三边的中点，则

1.     B.       C.          D.

（7）在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为

A.①②③    B. ①③④      C. ②④         D. ①③

8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ）

A.三棱锥    B.三棱柱   C.四棱锥   D.四棱柱

9.执行右面的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的(    )

A.   B.    C.    D.

10. 已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，zxxk，则（    ）

A.  1    B.  2     C.  4   D.  8

（11）设，满足约束条件且的最小值为7，则

（A）-5                                 （B）3               

（C）-5或3                             （D）5或-3

（12）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值  范围是

（A）       （B）       （C）       （D）

第II  卷

2、填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.

（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、zxxk三个城市时，

      甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；

      乙说：我没去过城市；

      丙说：我们三人去过同一城市；

      由此可判断乙去过的城市为________.

（15）设函数则使得成立的的取值范围是________.

（16）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得  点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.本文来自http://gaokao.ccutu.com

3、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知是递增的等差数列，，是方程的根。

（I）求的通项公式；

（II）求数列的前项和.

（18）（本小题满分12分）

     从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

19(本题满分12分)

如图，三棱柱中，侧面为菱形，zxxk的中点为，且平面.有途高考网

（1）证明：

（2）若,求三棱柱的高.

20. （本小题满分12分）

已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.

（1）求的轨迹方程；

（2）当时，求的方程及的面积

21（12分）

设函数，zxxk曲线处的切线斜率为0

（1）求b;

（2）若存在使得，求a的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲

     如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.

（I）证明：；

（II）设不是的直径，的中点为，zxxk且，证明：为等边三角形.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线，直线（为参数）

（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（2）过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.

（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲

若且

（I）求的最小值；

（II）是否存在，使得？并说明理由.

2014年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题答案（A卷）

选择题答案

一选择题

（1）B      (2)A     (3)B   (4)D     (5)A      (6)C

(7)C        (8)B     (9)D   (10) C   (11)B     (12)A

二填空题

（13）2/3   (14)  A    (15) (   (16)  150

三解答题

（17）

解：（I）方程-5x+6=0的两个根为2,3，由题意可知=2，=3.

设数列{}的通项公式为

(II)设{}的前n项和为Sn，由（I）知，则

     Sn=+…….+

1/2Sn=+……..+

两式相减得：

      1/2Sn=3/4+()-

           =3/4+1/4(1-)-

所以Sn=2-

（18）解：

（1）

（2）质量指标的样本平均数为

质量指标值的样本方差为

所以此题得证。（10分）

（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定。（12分）

（19）解：

（1）连接，则,则O为与的交点，因为侧面为菱形，所以

又AO平面，所以，，故平面

由于平面，故平面，故AB   ………(6分)

（2）ODBC，垂足为D,连接AD,作OHAD,垂足为H,

又因，BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC

又OHAD,所以OH 平面ABC

因为，所以为等边三角形，又BC=1，可得OD=

由于AC ,所以OA= =

由OH·AD=OD·OA，且AD==，得OH=

又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABC-A1B1C1的高为

（20）解：

（Ⅰ）圆C的方程可化为，所以圆心为C（0,4），半径                            

      为4.

设M则，，由题设知,故

，即

由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M的轨迹方程是以点N（3.1）为圆心，为半径的圆

      由于故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM

      因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为

     又=。O到的距离为。,所以△POM的面积为16/5.

（21）解：

（Ⅰ）

      由题设知，，解得b=1

（Ⅱ）的定义域为（0，+）由（Ⅰ）知

（i）若则，故当时，，在（1，+）上单调递增

所以，存在，使得的充要条件为，即，可得

（ii）若1/2<a<1,则，故当时。；当在单调递减，在单调递增。

(22)

解：（I）记为事件xxxxxA上的来求回球的得分为i分（i=0,1,3）

则P（）=，P（）=1--=;

记P（）为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分” （i=0,1,3）

则P（）=， P（）=, P（）=1- - =

记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次落在乙上”.

由题意，D=+++

由事件的独立性和互斥性.

P(D)=P(+++)

=P()+P()+P()+P()

=P()P()+P()P()+P()P()+P()P()

=+++

=

所以 小明两次来回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.

（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性和互斥性，得

P(=0)=P()==

P(=1)=P（+）

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