绝密★启封并使用完毕前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知
，集合
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】因为
或
，所以
，故选C.
【题型】选择题
【难度】一般
（2）若复数
在复平面内对应的点在第二象限，则实数
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】
，因为对应的点在第二象限，所以
，解得：
，故选B.
【题型】选择题
【难度】一般
（3）执行如图所示的程www.ccutu.com序框图，输出的
值为
（A）2 （B）
（C）
（D）
【答案】C
【题型】选择题
【难度】一般
（4）若
满足
则
的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
表示斜率为
的一组平行线，当过点
时，目标函数取得最大值
，故选D.
【题型】选择题
【难度】一般
（5）已知函数
，则
（A）是偶函数，且在R上是增函数
（B）是奇函数，且在R上是增函数
（C）是偶函数，且在R上是减函数
（D）是奇函数，且在R上是增函数
【答案】B
【解析】
，所以函数是www.ccutu.com奇函数，并且
是增函数，
是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.
【题型】选择题
【难度】一般
（A）60 （B）30
（C）20 （D）10
【答案】D
【解析】该几何体是三棱锥，如图：
图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是
，故选D.
【题型】选择题
【难度】一般
（7）设m, n为非零向量，则“存在负数
，使得m=λn”是“m·n<0”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
，使
，即两向量反向，夹角是
，那么
，反过来，若
，那么两向量的夹角为
，并不一定反向，即不一定存在负数
，使得
，所以是充分不必要条件，故选A.
【题型】选择题
【难度】一般
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与
最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053
（C）1073 （D）1093
【答案】D
【解析】设
，两边取对数，
，所以
，即
最接近
，故选D.
【题型】选择题
【难度】一般
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在平面直角坐标系xOy中，角
与角
均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=
，则sin=_________．
【答案】1/3
【解析】
【题型】填空题
【难度】一般
（10）若双曲线
的离心率为
，则实数m=__________．
【答案】2
【解析】
【题型】填空题
【难度】一般
（11）已知
，
，且x+y=1，则
的取值范围是__________．
【答案】【1/2,1】
【解析】
，所以当
时，取最大值1；当
时，取最小值
；因此取值范围为
【题型】填空题
【难度】一般
（12）已知点P在圆
上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则
的最大值为_________．
【答案】6
【解析】
所以最大值是6.
【题型】填空题
【难度】一般
（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________．
【答案】-1，-2，-3
【解析】
【题型】填空题
【难度】一般
（14）某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数学&科网．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
【答案】6,12
【解析】设男生数，女生数，教师数为
，则
第一小问：
第二小问：
【题型】填空题
【难度】一般
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知等差数列
和等比数列
满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求和：
．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】（I）设公差为
， 
,所以
，所以
.
（Ⅱ）设
的公比为
，
.
=
，所以
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
.
【题型】解答题
【难度】一般
（16）（本小题13分）
已知函数
.
（I）f(x)的最小正周期；
（II）求证：当
时，
．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析.
【题型】解答题
【难度】一般
（17）（本小题13分）
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）
.
【题型】解答题
【难度】一般
（18）（本小题14分）
如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．
【答案】详见解析
【解析】证明：（Ⅰ） 
，
平面
，
平面
，且
，
平面
，
平面
,
；
（Ⅱ）
，
是
的中点，
,
由（Ⅰ）知
平面，
平面
，
平面
平面
，
平面
平面
，
平面,
，
平面
，
平面
,
平面
平面
,
（Ⅲ）
平面
，
又
平面
平面
,
平面，
是
中点，
为
的中点，
是
的中点，
,
【题型】解答题
【难度】一般
（19）（本小题14分）
已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（Ⅰ）
焦点在
轴上，
，
∴
∴
∴
；
（2）设
，
直线
的方程是
，
，
，
直线
的方程是
，直线
的方程是
，
直线
与
直线联立
，整理为：
，即
即
，解得
，
代入求得
又
和
面积的比为4:5.
【题型】解答题
【难度】一般
（20）（本小题13分）
已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)
；（Ⅱ）最大值1；最小值
.
【题型】解答题
【难度】一般