2018年山西高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|2x﹣y﹣1=0}，则A∩B=（　　）

A．x=1，y=1              B．（1，1）              C．{1，1}              D．{（1，1）}

3．若直线l：xsinθ+2ycosθ=1与圆C：x2+y2=1相切，则直线l的方程为（　　）

A．x=1              B．x=±1              C．y=1              D．y=±1

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．44              B．32              C．10+6              D．22+6

11．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过实数x的最大整数），则运行后输出的结果是（　　）

A．31              B．33              C．35              D．37

14．已知函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，则实数a的取值范围为　　　　　　．

15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为　　　　　　．

16．F为抛物线y2=12x的焦点，过F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，过A作AH垂直抛物线的准线于H，若直线l的倾角α∈（0，]，则△AFH面积的最小值为　　　　　　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，M为CC1的中点，∠ABC=90°，AC=A1A，∠A1AC=60°，AB=BC=2．

（Ⅰ）求证：BA1=BM；

（Ⅱ）求三棱锥C1﹣A1B1M的体积．

19．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．

（Ⅰ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备M的性能等级．

（Ⅱ）将直径小于等于μ﹣2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品，从样本所含次品中任取2件，则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少？

21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设g（x）=xf（x）+2，求证：当a＜ln时，g（x）＞2a．

选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图⊙O是Rt△ABC的外接圆，E、F是AB，BC上的点，且A，E，F，C四点共圆，延长BC至D，使得AC•BF=AD•BE．

（1）证明：DA是⊙O的切线；

（2）若AF•AB=1：，试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

23．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为p2=，以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x﹣a|

（1）当a=5时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）设不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，求整数a的值．

2018年山西高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|2x﹣y﹣1=0}，则A∩B=（　　）

A．x=1，y=1              B．（1，1）              C．{1，1}              D．{（1，1）}

【考点】交集及其运算．

【分析】联立A与B中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．

【解答】解：联立得：，

消去y得：2x﹣1=x2，即（x﹣1）2=0，

解得：x=1，y=1，

则A∩B={（1，1）}，

故选：D．

3．若直线l：xsinθ+2ycosθ=1与圆C：x2+y2=1相切，则直线l的方程为（　　）

A．x=1              B．x=±1              C．y=1              D．y=±1

【考点】圆的切线方程．

【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，让d等于半径1，得到cosθ=0，sinθ=±1，即可求出直线l的方程．

【解答】解：根据圆C：x2+y2=1，得到圆心坐标C（0，0），半径r=1，

∵直线与圆相切，

∴圆心到直线的距离d==r=1，

解得：cosθ=0，sinθ=±1

则直线l的方程为x=±1．

故选：B．

4．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（　　）

A．﹣3              B．﹣5              C．﹣6              D．﹣14

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，

由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，

直线y=的截距最小，此时z最小，

由，得，

即B（3，﹣3）

此时z=3+2×（﹣3）=3﹣6=﹣3．

故选：A．

5．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．

【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），

则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，

故选：A．

6．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

A．              B．              C．65π              D．

【考点】球的体积和表面积．

【分析】连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，推导出O是该四棱锥的外接的球心，球半径R=，由此能求出该球的表面积．

7．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】他从口袋中随意摸出2张，求出基本事件总数，再求出其面值之和不少于四元包含的基本事件个数，由此能求出其面值之和不少于四元的概率．

【解答】解：小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，

若他从口袋中随意摸出2张，基本事件总数n==10，

故选：C．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．44              B．32              C．10+6              D．22+6

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形四棱锥，结合图中数据求出它的表面积．

【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为矩形四棱锥；

且矩形的长为6，宽为2，四棱锥的高为4，如图所示：

若2a﹣1=0，则a=，此时当x≥﹣1时，f（x）=﹣1，此时函数f（x）的值域不是R，不满足条件．

若2a﹣1＞0，即a＞时，函数f（x）=（2a﹣1）x﹣2a，x≥﹣1为增函数，

此时f（x）≥﹣（2a﹣1）﹣2a=1﹣4a，此时函数的值域不是R，

若2a﹣1＜0，即a＜时，函数f（x）=（2a﹣1）x﹣2a，x≥﹣1为减函数，

此时f（x）≤﹣（2a﹣1）﹣2a=1﹣4a，

若函数的值域是R，

则1﹣4a≥2，即4a≤﹣1，即a≤﹣，

故选：A．

10．点O为△ABC内一点，且满足，设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则=（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】向量的线性运算性质及几何意义．

【分析】延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，由已知得O为△DABC重心，E为AB中点，推导出S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，由此能求出结果．

【解答】解：延长OC到D，使OD=4OC，

延长CO交AB与E，

∵O为△ABC内一点，且满足，

∴=，

∴O为△DABC重心，E为AB中点，

∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，

∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，

∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，

∴=．

故选：B．

11．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过实数x的最大整数），则运行后输出的结果是（　　）

A．31              B．33              C．35              D．37

【考点】程序框图．

【分析】模拟程序框图的运行过程，得出终止循环时输出的i值是什么．

【解答】解：模拟程序框图运行，如下；

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则△ABC的面积的最大值为（　　）

A．4              B．2              C．2              D．

【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．

【分析】由已知式子和正弦定理可得B=，再由余弦定理可得ac≤16，由三角形的面积公式可得．

【解答】解：∵在△ABC中=，

∴（2a﹣c）cosB=bcosC，

∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，

约掉sinA可得cosB=，即B=，

由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，

∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，

∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤4

故选：A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．是复数z的共轭复数，若z•=4，则|z|=　2　．

【考点】复数求模．

【分析】设z=a+bi（a，b∈R），可得=a﹣bi，|z|=||，利用z•=|z|2，即可得出．

【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∴=a﹣bi，

|z|=||，

∵z•=4，

∴|z|2=4，

则|z|=2．

故答案为：2．

14．已知函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，则实数a的取值范围为　[﹣3，3]　．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】先求出函数的导数，通过导函数大于0，解不等式即可．

【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，

∴f′（x）=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立，

∴△=4a2﹣36≥0，

解得：﹣3≤a≤3，

故答案为：[﹣3，3]．

15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为　﹣1　．

【考点】正弦函数的图象．

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，]上的最小值．

故答案为：36．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．已知数列{an}为等差数列，且，3，a4，a10成等比数列．

（Ⅰ）求an；

18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，M为CC1的中点，∠ABC=90°，AC=A1A，∠A1AC=60°，AB=BC=2．

（Ⅰ）求证：BA1=BM；

（Ⅱ）求三棱锥C1﹣A1B1M的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（I）取AC的中点D，连接BD，DM，AC1，A1D，A1C，由题意可得△ABC是等腰直角三角形，四边形ACC1A1是菱形，利用菱形和等边三角形的性质可得A1D=DM，由面面垂直的性质可得BD⊥A1D，BD⊥DM，于是△A1DB≌Rt△MDB，于是BA1=BM；

（II）根据等腰直角三角形的性质计算BD，以△A1C1M为棱锥的底面，则棱锥的高与BD相等．代入棱锥的体积公式计算．

【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点D，连接BD，DM，AC1，A1D，A1C．

∵AB=BC，∴BD⊥AC．

∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1ACC1∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，

∴BD⊥平面A1ACC1，∵A1D⊂平面A1ACC1，DM⊂A1ACC1，

∴BD⊥A1D，BD⊥DM．

∵D，M是AC，CC1的中点，∴DM=，

∵AC=AA1，∠A1AC=60°，∴四边形AA1C1C是菱形，△A1AC为等边三角形，

∴A1D==DM，

∴Rt△A1DB≌Rt△MDB．

∴BA1=BM．

（Ⅱ）解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=2，∴BD=AD=AC=．

∴A1D==．MC1==．

S==．

∵BB1∥平面AA1C1C，∴点B1到平面AA1C1C的距离h=BD=，

∴V=V===．

19．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．

（Ⅰ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备M的性能等级．

（Ⅱ）将直径小于等于μ﹣2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品，从样本所含次品中任取2件，则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少？

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；

（Ⅱ）确定基本事件，即可求出径之差不超过1mm的概率．

【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，

因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…

（Ⅱ）易知样本中次品共6件，将直径为58，59，70，71，71，73的次品依次记为A，B，C，D，E，F从中任取2件，共有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF15种可能，而直径不超过1mm的取法共有AB，CD，CE，4种可能，由古典概型可知P=．…

20．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．

（Ⅰ）求△ABF2的周长；

（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（I）由椭圆定义得△ABF2的周长为4a，由此能求出结果．

（II）设直线l的方程为x=my﹣1，与椭圆联立，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．由此利用韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式，能求出△ABF2的面积．

【解答】解：（I）∵F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，

过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．

∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．…

21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设g（x）=xf（x）+2，求证：当a＜ln时，g（x）＞2a．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；

（Ⅱ）求出g（x）的导函数g′（x）=﹣ax+lnx+a﹣1  （x＞0），当时，g′（x）在（0，+∞）上单调递增，故而g′（x）在（1，2）存在唯一的零点x0，即g′（x0）=0，则当0＜x＜x0时，g（x）单调递减，当x＞x0时，g（x）单调递增，从而可证得结论．

选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图⊙O是Rt△ABC的外接圆，E、F是AB，BC上的点，且A，E，F，C四点共圆，延长BC至D，使得AC•BF=AD•BE．

（1）证明：DA是⊙O的切线；

（2）若AF•AB=1：，试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．

【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．

【分析】（1）证明：∠ACD=∠BEF，∠DAC=∠FBE，进而证明∠DAB=90°，即可证明DA是⊙O的切线；

（2）由（1）知AF为过A，E，F，C四点的圆的直径，利用AF：AB=1：，即可求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．

【解答】（1）证明：由题意知∠ACD=90°，

∵A，E，F，C四点共圆，∴∠BEF=90°，即∠ACD=∠BEF．

又∵AC•BF=AD•BE，∴△ADC∽△BFE．

∴∠DAC=∠FBE．

∵∠FBE+∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAC=90°，

即∠DAB=90°，∴DA是⊙O的切线．…

（2）解：由（1）知AF为过A，E，F，C四点的圆的直径，

∵AF：AB=1：．∴AF2：AB2=1：2．

即过点A，E，F，C的圆的面积与⊙O的面积之比为1：2．…

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

23．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为p2=，以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．

（Ⅱ）先求出直线AB的方程，设P（4cosθ，3sinθ），求出P到直线AB的距离，由此能求出△ABP面积的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ2=，

∴9ρ2+7ρ2sin2θ=144，

由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，

可得曲线C的直角坐标方程为9x2+9y2+7y2=144．

即曲线C的直角坐标方程为．…

（Ⅱ）∵曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，

∴A（4，0），B（0，3），∴直线AB的方程为3x+4y﹣12=0，

设P（4cosθ，3sinθ），则P到直线AB的距离为：

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