2018年山东高考理科数学模拟冲刺试题【含答案】

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

5. 不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是(　　)

A.(-∞,4)                 B.(-∞,1)                 C.(1,4)                  D.(1,5)

答案　A　

6. 已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为6,则a=(　　)

A.3                                          B.2                                          C.-2                            D.-3

答案　B　

8. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)

(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)

A.2 386 B.2 718 C.3 413              D.4 772

答案　C　

9. 已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=(　　)

答案　C　

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

13. 执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=__________.

答案：7

17. 如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.

(1)求证:GF∥平面ADE;

(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

解析　解法一:(1)证明:如图,取AE的中点H,连结HG,HD,

又G是BE的中点,所以GH∥AB,且GH=AB.

又F是CD的中点,所以DF=CD.

由四边形ABCD是矩形得,AB∥CD,AB=CD,

所以GH∥DF,且GH=DF,

从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF∥DH.

又DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,所以GF∥平面ADE.

(2)如图,在平面BEC内,过B点作BQ∥EC.因为BE⊥CE,所以BQ⊥BE.

又因为AB⊥平面BEC,所以AB⊥BE,AB⊥BQ.

以B为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).

因为AB⊥平面BEC,所以=(0,0,2)为平面BEC的法向量.

设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量.

又=(2,0,-2),=(2,2,-1),

由得

取z=2,得n=(2,-1,2).

从而cos<n,>===,

所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.

20. （13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.

(1)求C2的方程;

(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.

(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;

(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.

解析　(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①

又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1.②

联立①,②得a2=9,b2=8.故C2的方程为+=1.

(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).

(i)因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③

设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.

由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④

由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤

将④,⑤代入③,得16(k2+1)=+,

即16(k2+1)=,

所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.

(ii)由x2=4y得y'=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=-.

令y=0,得x=,即M,所以=.而=(x1,y1-1),于是·=-y1+1=+1>0,

因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.

故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.

21. （14分）设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.

(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;

(2)若∀x>0, f(x)≥0成立,求a的取值范围.

解析　(1)由题意知函数f(x)的定义域为(-1,+∞),

f '(x)=+a(2x-1)=.

令g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈(-1,+∞).

①当a=0时,g(x)=1,

此时f '(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点.

②当a>0时,Δ=a2-8a(1-a)=a(9a-8).

a.当0<a≤时,Δ≤0,g(x)≥0,

f '(x)≥0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点.

b.当a>时,Δ>0,

设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x1<x2),

因为x1+x2=-,所以x1<-,x2>-.

由g(-1)=1>0,可得-1<x1<-.

所以当x∈(-1,x1)时,g(x)>0, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;

当x∈(x1,x2)时,g(x)<0, f '(x)<0,函数f(x)单调递减;

当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0, f '(x)>0,函数f(x)单调递增.

因此函数有两个极值点.

③当a<0时,Δ>0,

由g(-1)=1>0,可得x1<-1.

当x∈(-1,x2)时,g(x)>0, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;

当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0, f '(x)<0,函数f(x)单调递减.

所以函数有一个极值点.

综上所述,当a<0时,函数f(x)有一个极值点;

当0≤a≤时,函数f(x)无极值点;

当a>时,函数f(x)有两个极值点.

(2)由(1)知,

①当0≤a≤时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,

因为f(0)=0,所以x∈(0,+∞)时, f(x)>0,符合题意.

②当<a≤1时,由g(0)≥0,得x2≤0,

所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.

又f(0)=0,所以x∈(0,+∞)时, f(x)>0,符合题意.

③当a>1时,由g(0)<0,可得x2>0.

所以x∈(0,x2)时,函数f(x)单调递减.

因为f(0)=0,所以x∈(0,x2)时, f(x)<0,不合题意.

(4)当a<0时,设h(x)=x-ln(x+1).

因为x∈(0,+∞)时,h'(x)=1-=>0,

所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.

因此当x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0,即ln(x+1)<x.

可得f(x)<x+a(x2-x)=ax2+(1-a)x,

当x>1-时,ax2+(1-a)x<0,

此时f(x)<0,不合题意.

综上所述,a的取值范围是[0,1].

巩固训练

1.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;

(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.

解析　(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .

数据补全如下表:

且函数表达式为f(x)=5sin.

(2)由(1)知 f(x)=5sin,

得g(x)=5sin.

因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.

令2x+2θ-=kπ,