2018年浙江高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M={x∈N|x2﹣5x﹣6＜0}，N={x∈Z|2＜x＜23}，则M∩N=（　　）

A．（2，6）              B．{3，4，5}              C．{2，3，4，5，6}              D．[2，6]

2．“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的（　　）

A．充分不必要条件              B．必要不充分条件

C．充要条件              D．既不充分也不必要条件

3．下列函数中既是奇函数又是周期函数的是（　　）

A．y=x3              B．y=cos2x              C．y=sin3x              D．

4．已知数列{an}是正项等比数列，满足an+2=2an+1+3an，且首项为方程x2+2x﹣3=0的一个根．则下列等式成立的是（　　）

A．an+1=2Sn+1              B．an=2Sn+1              C．an+1=Sn+1              D．an=2Sn﹣1﹣1

8．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），g（x）=log3x．若函数f（x）的定义域与值域均为[1，a]，且对于任意的x1，x2∈[1，a+1]，恒成立，则满足条件的实数t的取值范围是（　　）

A．[﹣2，8]              B．[0，8]              C．[0，+∞）              D．[0，8）

二、填空题（本大题共7小题，其中9-12题每小题两空，每题6分，13-15题每小题一空，每题4分，合计36分.请将答案填在答题纸上）

10．若实数x，y满足不等式组，则该不等式表示的平面区域的面积为　　　　　　；目标函数z=4x+3y的最大值为　　　　　　．

12．已知直线l过点P（2，1），Q（1，﹣1），则该直线的方程为　　　　　　；过点P与l垂直的直线m与圆x2+y2=R2（R＞0）相交所得弦长为，则该圆的面积为　　　　　　．

13．三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1与底边AB，AC所成的角均为60°．若顶点A1在下底面的投影恰在底边BC上，则该三棱柱的体积为　　　　　　．

14．已知正数a，b满足a+2b=2，则的最小值为　　　　　　．

15．如图所示，△ABC中，AB⊥AC，AB=6，AC=8．边AB，AC的中点分别为M，N．若O为线段MN上任一点，则的取值范围是　　　　　　．

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°．点A在边BC上的投影为点D．

（1）试求线段AD的长度；

（2）设点D在边AB上的投影为点E，在边AC上的投影为F，试求线段EF的长度．

17．已知正项递增等比数列{an}的首项为8，其前n项和记为Sn，且S3﹣2S2=﹣2．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足，其前n项和为Tn，试求数列的前n项和Bn．

18．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，Q，M分别为PA，BC的中点．

（1）证明：直线QM∥平面PCD；

（2）若二面角A﹣BD﹣Q所成角正切值为2，求直线QC与平面PAD所成角的正切值．

19．已知抛物线C：y2=4x．直线l：y=k（x﹣8）与抛物线C交于A，B（A在B的下方）两点，与x

轴交于点P．

（1）若点P恰为弦AB的三等分点，试求实数k的值．

（2）过点P与直线l垂直的直线m与抛物线C交于点M，N，试求四边形AMBN的面积的最小值．

20．设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|

（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；

（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．

2018年浙江高考文科数学模拟冲刺试题【含答案】

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M={x∈N|x2﹣5x﹣6＜0}，N={x∈Z|2＜x＜23}，则M∩N=（　　）

A．（2，6）              B．{3，4，5}              C．{2，3，4，5，6}              D．[2，6]

【考点】交集及其运算．

【分析】分别求出M与N中不等式的解集，找出解集中的正整数解及整数解确定出M与N，求出两集合的交集即可．

【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣6）（x+1）＜0，

解得：﹣1＜x＜6，x∈N，即M={0，1，2，3，4，5}，

由N中不等式变形得：2＜x＜23=8，x∈Z，即N={3，4，5，6，7}，

则M∩N={3，4，5}，

故选：B．

2．“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的（　　）

A．充分不必要条件              B．必要不充分条件

C．充要条件              D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】“该几何体为球”⇒“某几何体的三视图完全相同”，反之不成立，例如取几何体正方体，即可判断出．

【解答】解：“该几何体为球”⇒“某几何体的三视图完全相同”，反之不成立，例如取几何体正方体，

∴“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的必要不充分条件．

故选：B．

3．下列函数中既是奇函数又是周期函数的是（　　）

A．y=x3              B．y=cos2x              C．y=sin3x              D．

【考点】函数的周期性；函数奇偶性的判断．

【分析】根据基本初等函数奇偶性和周期性进行判断即可．

【解答】解：A．函数y=x3为奇函数，不是周期函数；

B．y=cos2x是偶函数，也是周期函数，但不是奇函数；

C．y=sin3x是奇函数且是周期函数；

D．是周期函数，既不是奇函数也不是偶函数，

综上只有C符合题意，

故选：C．

4．已知数列{an}是正项等比数列，满足an+2=2an+1+3an，且首项为方程x2+2x﹣3=0的一个根．则下列等式成立的是（　　）

A．an+1=2Sn+1              B．an=2Sn+1              C．an+1=Sn+1              D．an=2Sn﹣1﹣1

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】设正项等比数列数列{an}的公比为q，0，满足an+2=2an+1+3an，且首项为方程x2+2x﹣3=0的一个根．可得q2=2q+3，a1=1．再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

【解答】解：设正项等比数列数列{an}的公比为q，0，满足an+2=2an+1+3an，且首项为方程x2+2x﹣3=0的一个根．

∴q2=2q+3，a1=1．

解得q=3．

∴an=3n﹣1，an+1=3n，Sn=，

则2Sn+1=3n=an+1．

故选：A．

5．△ABC中，AB=5，BC=3，CA=7，若点D满足，则△ABD的面积为（　　）

A．              B．              C．              D．5

【考点】向量数乘的运算及其几何意义．

【分析】先求出∠B的度数，从而求出sinB，根据三角形的面积公式求出△ABD的面积即可．

【解答】解：如图示：

，

cosB==﹣，

∴∠B=120°，

∴sinB=，

∴S△ABD=×5×2×=，

故选：A．

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π））的部分图象如图所示，则的值为（　　）

A．﹣2              B．﹣1              C．0              D．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】根据三角函数的图象和性质求出A，ω和φ的值进行求解即可．

【解答】解：由图象知函数的最大值为1，最小值为﹣3，则，得A=2，B=﹣1，

=﹣=，即T=π=，

即ω=2，

则f（x）=2sin（2x+φ）﹣1，

∵f（）=2sin（2×+φ）﹣1=1，

∴sin（+φ）=1，

即+φ=+2kπ，

则φ=2kπ﹣，

∵φ∈（0，π），∴当k=1时，φ=2π﹣=，

∴f（x）=2sin（2x+）﹣1，

则f（）=2sin（2×+）﹣1=2sin（π+）﹣1=﹣2×﹣1=﹣1﹣1=﹣2，

故选：A

7．过双曲线=1（a，b＞0）的右焦点F，且斜率为2的直线l与双曲线的相交于点A，B，若弦AB的中点横坐标取值范围为（2c，4c），则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．（3，4）              B．（2，3）              C．              D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设右焦点F（c，0），直线l的方程为y=2（x﹣c），代入双曲线的方程可得（b2﹣4a2）x2+8ca2x﹣4a2c2﹣a2b2=0，运用韦达定理和中点坐标公式，再由条件可得2c＜＜4c，结合a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围．

【解答】解：设右焦点F（c，0），直线l的方程为y=2（x﹣c），

代入双曲线的方程可得（b2﹣4a2）x2+8ca2x﹣4a2c2﹣a2b2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x1+x2=，

即有AB的中点的横坐标为，

由题意可得2c＜＜4c，

化简可得2a2＜b2＜3a2，

即有3a2＜c2＜4a2，

即a＜c＜2a，

可得e=∈（，2）．

故选：D．

8．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），g（x）=log3x．若函数f（x）的定义域与值域均为[1，a]，且对于任意的x1，x2∈[1，a+1]，恒成立，则满足条件的实数t的取值范围是（　　）

A．[﹣2，8]              B．[0，8]              C．[0，+∞）              D．[0，8）

【考点】函数恒成立问题．

【分析】根据二次函数的对称轴判断出函数单调性，得出a=f（1），求出a=2，

进而求出只需4t+2t﹣2≥0，得出答案．

【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a]

∴函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减

∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]

∴a=f（1）

∴a=2

∴f（x）=x2﹣4x+5，g（x）=log3x．

∵对于任意的x1，x2∈[1，3]，1≤f（x）≤2，0≤g（x）≤1，

∴4t+2t﹣2≥0，

∴t≥0．

故选：C．

二、填空题（本大题共7小题，其中9-12题每小题两空，每题6分，13-15题每小题一空，每题4分，合计36分.请将答案填在答题纸上）

9．已知等差数列{an}的前n项和为，则首项a1=　﹣2　；该数列的首项a1与公差d满足的=　16　．

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】根据等差数列{an}的前n项和求出a1，a2，a3；再根据等差中项的概念列出方程求出c的值，从而得出a1和公差d，即可得出的值．

【解答】解：等差数列{an}的前n项和为，

∴a1=S1=2﹣4+c=c﹣2，

a2=S2﹣S1=（8﹣8+c）﹣（c﹣2）=2，

a3=S3﹣S2=（18﹣12+c）﹣c=6；

又2a2=a1+a3，

∴4=（c﹣2）+6，

解得c=0；

∴a1=﹣2，

数列{an}的公差为d=a3﹣a2=6﹣2=4，

∴=（﹣2）4=16．

故答案为：﹣2，16．

10．若实数x，y满足不等式组，则该不等式表示的平面区域的面积为　　；目标函数z=4x+3y的最大值为　6　．

【考点】简单线性规划．

【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，得到三角形的面积，目标函数z=4x+3y可化为：y=﹣x+，显然直线过A时，求出z的最大值即可．

【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

，

由，解得：A（1，），

由，解得：B（1，﹣4），

而C到AB的距离是2，

∴S△ABC=|AB|•2=，

目标函数z=4x+3y可化为：y=﹣x+，

显然直线过A时，z最大，z的最大值是6，

故答案为：，6．

11．已知函数，则=　+　；该函数在区间上的最小值为　﹣+　．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】利用三角函数的诱导公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质进行求解即可．

【解答】解：

=sinxcosx+cos2x=sin2x+×（1+cos2x）

=sin2x+cos2x+

=sin（2x+）+，

则=sin（2×+）+=sin（+）+=cos+=+，

∵﹣≤x≤，

∴﹣≤2x+≤，

∴当2x+=﹣时，f（x）取得最小值，

此时最小值为sin（﹣）+=﹣+，

故答案为： +，﹣ +．

12．已知直线l过点P（2，1），Q（1，﹣1），则该直线的方程为　2x﹣y﹣3=0　；过点P与l垂直的直线m与圆x2+y2=R2（R＞0）相交所得弦长为，则该圆的面积为　5π　．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】由两点式写出直线方程，化为一般式得答案；求出圆心到直线的距离，结合垂径定理求得半径，则圆的面积可求．

【解答】解：由直线方程的两点式得l：，化为一般式，2x﹣y﹣3=0；

直线l的斜率为2，则过点P与l垂直的直线m的斜率为，直线m的方程为y﹣1=，

整理得：x+2y﹣4=0．

圆x2+y2=R2的圆心到m的距离d=，

∴R2=．

则圆的面积为πR2=5π．

故答案为：2x﹣y﹣3=0；5π．

13．三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1与底边AB，AC所成的角均为60°．若顶点A1在下底面的投影恰在底边BC上，则该三棱柱的体积为　3　．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】作出示意图，由AA1与AB，AC所成的角相等可知AA1在底面的射影为角BAC的角平分线，利用勾股定理和余弦定理求出棱柱的高，代入体积公式计算．

【解答】解：设A1在底面ABC的投影为D，连结AD，A1B，

∵AA1与AB，AC所成的角均为60°，∴AD为∠BAC的平分线，

∵△ABC是等边三角形，∴D为BC的中点．

∴BD=1，AD==．

设三棱柱的高A1D=h，则AA1==，A1B==．

在△AA1B中，由余弦定理得cos60°=，

即=1，解得h=．

∴三棱柱的体积V==3．

故答案为：3．

14．已知正数a，b满足a+2b=2，则的最小值为　　．

【考点】基本不等式．

【分析】解法一：数a，b满足a+2b=2，可得a=2﹣2b＞0，解得0＜b＜1．于是=+=f（b），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解法二：由于（1+a）+（2+2b）=5，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解法一：∵正数a，b满足a+2b=2，∴a=2﹣2b＞0，解得0＜b＜1．

则=+=f（b），

f′（b）=﹣=，

可知：当时，f′（b）＜0，此时函数f（b）单调递减；当b∈时，f′（b）＞0，此时函数f（b）单调递增．

当b=，a=时，f（b）取得最小值， =+=+=，

解法二：∵（1+a）+（2+2b）=5，

∴= [（1+a）+（2+2b）] = ≥=，当且仅当b=，a=时取等号．∴f（b）取得最小值．

故答案为：．

15．如图所示，△ABC中，AB⊥AC，AB=6，AC=8．边AB，AC的中点分别为M，N．若O为线段MN上任一点，则的取值范围是　[]　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】分别以AC、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，设O（m，n），由把O的坐标用λ表示，再把转化为关于λ的二次函数求解．

【解答】解：如图，分别以AC、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，

∵AB=6，AC=8，边AB，AC的中点分别为M，N，

∴A（0，0），B（0，6），C（8，0），M（0，3），N（4，0），

设O（m，n），，则（m，n﹣3）=λ（4，﹣3）（0≤λ≤1），

∴，则，

∴O（4λ，3﹣3λ），

则，，

∴=4λ（8﹣4λ）+（3λ+3）（3λ﹣3）﹣4λ•4λ+（3λ+3）（3λ﹣3）﹣4λ（8﹣4λ）+（3λ﹣3）2

=11λ2﹣18λ﹣9（0≤λ≤1）．

对称轴方程为，

∴当时，有最小值为，当λ=0时，有最大值为﹣9．

故答案为：[]．

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°．点A在边BC上的投影为点D．

（1）试求线段AD的长度；

（2）设点D在边AB上的投影为点E，在边AC上的投影为F，试求线段EF的长度．

【考点】解三角形．

【分析】（1）根据余弦定理求出BC的长，再根据勾股定理求出AD的长；（2）根据三角形面积相等求出DE和DF的长，根据余弦定理求出EF的长即可．

【解答】解：（1）在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°，

∴BC2=16+36﹣2×4×6×=28，

∴BC=2，

S△ABC=AB•AC•sin∠BAC=BC•AD，

∴AD=；

（2）依题意，DE=，

DF=，

由∠EDF=180°﹣60°=120°，

∴EF2=++××=，

∴EF=．

17．已知正项递增等比数列{an}的首项为8，其前n项和记为Sn，且S3﹣2S2=﹣2．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足，其前n项和为Tn，试求数列的前n项和Bn．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【分析】（1）通过设an=8qn﹣1（q＞1），代入S3﹣2S2=﹣2计算可知公比q=，进而计算可得结论；

（2）通过（1）可知bn=2n+1，利用等比数列、等差数列的求和公式计算可知Tn=n（n+2），进而裂项可知=（﹣），并项相加即得结论．

【解答】解：（1）依题意，an=8qn﹣1（q＞1），

∵S3﹣2S2=﹣2，即（8+8q+8q2）﹣2（8+8q）=﹣2，

∴4q2﹣4q﹣3=0，

解得：q=或q=﹣（舍），

故数列{an}的通项公式an=8•；

（2）由（1）可知=2+1=2n+1，

故数列{bn}的前n项和为Tn=2•+n=n（n+2），

∴==（﹣），

∴Bn=（1﹣+﹣+…+﹣）

=（1+﹣﹣）．

18．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，Q，M分别为PA，BC的中点．

（1）证明：直线QM∥平面PCD；

（2）若二面角A﹣BD﹣Q所成角正切值为2，求直线QC与平面PAD所成角的正切值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）取AD的中点N，连结QN，MN．可通过证明平面QMN∥平面PCD得出QM∥平面PCD；

（2）在平面ABCD内过C作CE⊥AD交延长线于E，连结QE，则CE⊥平面PAD，设菱形边长为1，利用勾股定理，二面角的大小，菱形的性质等计算AC，AE，AQ，得出CE，QE，于是tan∠CQE=．

【解答】证明：（1）取AD的中点N，连结QN，MN．

∵底面ABCD为菱形，M，N是BC，AD的中点，

∴MN∥CD，

∵Q，N是PA，AD的中点，

∴QN∥PD，

又QN⊂平面QMN，MN⊂平面QMN，QN∩MN=N，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，

∴平面QMN∥平面PCD，∵QM⊂平面QMN，

∴QM∥平面PCD．

（2）连结AC交BD于O，连结QO．

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AD=AB，QA为公共边，

∴Rt△QAD≌Rt△QAB，∴QD=QB，

∵O是BD的中点，

∴AO⊥BD，QO⊥BD，

∴∠AOQ为二面角A﹣BD﹣Q的平面角，∴tan∠AOQ=2．

在平面ABCD内过C作CE⊥AD交延长线于E，连结QE．

则CE⊥平面PAD，∴∠CQE为直线QC与平面PAD所成的角．

设菱形ABCD的边长为1，∵∠DAB=60°，

∴AO=，AC=，

∴QA=2AO=，CE==，AE=CE=，

∴QE==．

∴tan∠CQE==．

∴直线QC与平面PAD所成角的正切值为．

19．已知抛物线C：y2=4x．直线l：y=k（x﹣8）与抛物线C交于A，B（A在B的下方）两点，与x

轴交于点P．

（1）若点P恰为弦AB的三等分点，试求实数k的值．

（2）过点P与直线l垂直的直线m与抛物线C交于点M，N，试求四边形AMBN的面积的最小值．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设=2，求出A的坐标，利用斜率公式，求实数k的值．

（2）直线l：y=k（x﹣8）与抛物线方程联立得：k2x2﹣（16k2+4）x+64k2=0，由弦长公式求出|AB|、|MN|，由四边形AMBN的面积S=|AB||MN|，利用基本不等式能求出四边形AMBN面积最小值．

【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设=2，

∵P（8，0），

∴（8﹣x2，﹣y2）=2（x1﹣8，y1），

∴8﹣x2=2x1﹣8，﹣y2=2y1，

∴8﹣x2=2x1﹣8，x2=4x1，

∴x1=，x2=4x1=

∴A（，﹣），

∴k==，

根据对称性，k=﹣，满足题意；

（2）直线l：y=k（x﹣8）与抛物线方程联立得：k2x2﹣（16k2+4）x+64k2=0，

∴x1+x2=16+，x1x2=64，

由弦长公式|AB|=，

同理由弦长公式得|MN|=，

所以四边形AMBN的面积S=|AB||MN|=8≥8=144，

当k=±1时，取“=”．

故四边形AMBN面积最小值为144．

20．设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|

（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；

（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．

【考点】分段函数的应用；函数的值域．

【分析】（Ⅰ）原不等式即为﹣a|a|≥1，考虑a＜0，解二次不等式求交集即可；

（Ⅱ）将函数f（x）改写为分段函数，讨论当a≥0时，①﹣a≤﹣2，②﹣a＞﹣2，当a＜0时，①≤﹣2，②＞﹣2，运用二次函数的单调性，即可得到最小值．

【解答】解：（Ⅰ） 若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒⇒a≤﹣1，

则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；         

（Ⅱ）函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|=，

当a≥0时，

①﹣a≤﹣2即a≥2时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以

f（x）min=f（﹣2）=4﹣4a﹣a2；                   

②﹣a＞﹣2即0≤a＜2时，f（x）在[﹣2，﹣a]上单调递减，在[﹣a，2]上单调递增，所以

f（x）min=f（﹣a）=﹣2a2；                          

当a＜0时，

①≤﹣2即a≤﹣6时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以

f（x）min=f（﹣2）=12+4a+a2；                         

②＞﹣2即﹣6＜a＜0时，f（x）在[﹣2，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以

f（x）min=f（）=，

综上可得，f（x）min=